【等比数列的性质是什么】等比数列是数学中一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。在学习等比数列时，了解其基本性质有助于更好地掌握其应用和解题技巧。以下是对等比数列性质的总结。
一、等比数列的基本定义
设一个数列为 $ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n $，若满足：
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n} = r \quad (r \neq 0)
$$
其中 $ r $ 是一个常数，称为公比，则该数列为等比数列。
二、等比数列的主要性质
| 序号 | 性质名称 | 内容说明 | ||
| 1 | 公比恒定 | 每一项与前一项的比值为常数 $ r $，即 $ a_{n+1} = a_n \cdot r $ | ||
| 2 | 通项公式 | 第 $ n $ 项为 $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | ||
| 3 | 任意两项的关系 | 若 $ m < n $，则 $ a_n = a_m \cdot r^{n-m} $ | ||
| 4 | 等比中项 | 若 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b^2 = ac $，且 $ b = \sqrt{ac} $（当 $ a > 0 $） | ||
| 5 | 连续三项关系 | 若 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b^2 = ac $ | ||
| 6 | 前 $ n $ 项和公式 | 当 $ r \neq 1 $ 时，$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ | ||
| 7 | 当 $ r = 1 $ 时 | 数列为常数列，所有项相等，$ S_n = n \cdot a_1 $ | ||
| 8 | 无穷等比数列求和 | 当 $ | r | < 1 $ 时，无穷等比数列的和为 $ S = \frac{a_1}{1 - r} $ |
| 9 | 等比数列的单调性 | 若 $ r > 1 $，数列递增；若 $ 0 < r < 1 $，数列递减；若 $ r < 0 $，数列交替变化 | ||
| 10 | 乘积性质 | 若 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ 成等比数列，则 $ a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n = a_1^n \cdot r^{\frac{n(n-1)}{2}} $ |
三、小结
等比数列具有清晰的规律性和数学结构，掌握其性质不仅有助于理解数列的演变规律，还能在实际问题中灵活运用。例如，在金融计算、几何增长模型、物理中的指数变化等问题中，等比数列都扮演着重要角色。
通过上述表格可以看出，等比数列的核心在于“公比”这一关键参数，而其他性质均围绕这个核心展开。因此，在学习过程中应重点理解公比的作用及其对数列整体的影响。