【arcsinx求导后是啥】在微积分的学习中，反三角函数的导数是一个重要的知识点。其中，arcsinx（即反正弦函数）的导数是常见的问题之一。掌握它的导数公式不仅有助于解题，还能加深对反函数求导方法的理解。
一、arcsinx 的导数推导思路
设 $ y = \arcsin x $，则根据反函数的定义，可以得到：
$$
x = \sin y
$$
两边对 $ x $ 求导，使用隐函数求导法：
$$
\frac{dx}{dy} = \cos y
$$
因此，
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{\cos y}
$$
再利用三角恒等式 $ \cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} $，而 $ \sin y = x $，所以：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
二、总结与表格展示
| 函数表达式 | 导数表达式 | 定义域 | 注意事项 |
| $ y = \arcsin x $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ | 导数在定义域内成立，且分母不能为零 |
三、小结
- arcsinx 的导数是 $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $。
- 这个结果可以通过反函数求导的方法得出，也可以通过三角恒等式进行验证。
- 在实际应用中，这个导数常用于积分和微分方程中，是数学分析中的基础内容之一。
通过理解这一过程，可以更深入地掌握反函数的导数计算方法，为后续学习打下坚实的基础。