【几何分布的期望】在概率论中，几何分布是一种离散型概率分布，用于描述在一系列独立的伯努利试验中，第一次成功发生在第k次试验的概率。几何分布有两种常见的定义方式：一种是“首次成功发生在第k次试验”，另一种是“在首次成功前失败的次数”。本文将基于第一种定义进行讨论。
几何分布的期望值是衡量该分布集中趋势的重要指标，它反映了在多次试验中平均需要多少次试验才能获得一次成功。
一、几何分布的定义
设随机变量X服从几何分布，表示在独立重复的伯努利试验中，首次成功发生在第X次试验。其概率质量函数为：
$$
P(X = k) = (1 - p)^{k-1} \cdot p, \quad k = 1, 2, 3, \dots
$$
其中：
- $ p $ 是每次试验成功的概率（$ 0 < p < 1 $）
- $ 1 - p $ 是每次试验失败的概率
二、几何分布的期望
几何分布的期望值 $ E(X) $ 表示在多次试验中，平均需要多少次试验才能获得第一次成功。
计算公式如下：
$$
E(X) = \frac{1}{p}
$$
这个结果表明，随着成功概率 $ p $ 的增大，期望值会减小，即越容易成功，平均所需试验次数就越少。
三、总结与表格展示
| 概念 | 内容 |
| 分布类型 | 几何分布 |
| 定义 | 首次成功发生在第k次试验的概率 |
| 概率质量函数 | $ P(X = k) = (1 - p)^{k-1} \cdot p $ |
| 期望公式 | $ E(X) = \frac{1}{p} $ |
| 参数说明 | $ p $ 为每次试验成功的概率，$ 0 < p < 1 $ |
| 特点 | 无记忆性，即每次试验的结果互不影响 |
四、实例说明
假设某射手每次射击命中目标的概率为 $ p = 0.2 $，那么他平均需要射击：
$$
E(X) = \frac{1}{0.2} = 5 \text{ 次}
$$
也就是说，在多次射击中，平均需要5次才能命中一次目标。
通过以上分析可以看出，几何分布的期望值是一个简单但非常有用的统计量，能够帮助我们理解在重复试验中获得成功所需的平均次数。在实际应用中，如质量控制、排队系统、游戏设计等领域都有广泛应用。