问等比数列公式

【等比数列公式】等比数列是数学中常见的数列类型之一，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，这个常数称为公比。等比数列在数列求和、几何问题、金融计算等领域有广泛应用。

为了更清晰地理解等比数列的相关公式，以下是对等比数列核心公式的总结，并以表格形式进行展示：

一、等比数列的基本概念

- 首项（a）：数列的第一个数。

- 公比（r）：相邻两项的比值，即 $ r = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} $。

- 第 n 项（aₙ）：数列中的第 n 个数。

- 前 n 项和（Sₙ）：数列前 n 项的总和。

二、等比数列公式总结

三、应用示例

假设有一个等比数列，首项 $ a = 2 $，公比 $ r = 3 $，求：

1. 第 5 项是多少？

$ a_5 = 2 \cdot 3^{4} = 2 \cdot 81 = 162 $

2. 前 4 项的和是多少？

$ S_4 = 2 \cdot \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 81}{-2} = 2 \cdot 40 = 80 $

3. 如果公比为 $ r = \frac{1}{2} $，求无限项的和：

$ S = \frac{2}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4 $

四、注意事项

- 当公比 $ r = 1 $ 时，数列为常数列，前 n 项和为 $ S_n = a \cdot n $。

- 当 $ r \geq 1 $ 时，无穷等比数列不收敛，无法使用无限项和公式。

- 等比数列的性质可用于解决实际问题，如复利计算、放射性衰变等。

通过以上内容可以看出，掌握等比数列的基本公式有助于快速求解相关问题，并在实际应用中发挥重要作用。