【几何分布的期望和方差公式推导】在概率论与数理统计中，几何分布是一种描述伯努利试验中首次成功发生所需试验次数的概率分布。它有两种常见的定义方式：一种是首次成功前失败的次数，另一种是首次成功所需的试验次数。本文将基于“首次成功所需的试验次数”这一定义进行讨论。
一、几何分布的基本概念
设随机变量 $ X $ 表示在独立重复的伯努利试验中，首次成功所需的试验次数，则 $ X $ 服从参数为 $ p $ 的几何分布，记作 $ X \sim \text{Geo}(p) $，其中 $ 0 < p < 1 $。
其概率质量函数（PMF）为：
$$
P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} p, \quad k = 1, 2, 3, \dots
$$
二、期望值的推导
几何分布的期望 $ E(X) $ 表示在每次试验成功的概率为 $ p $ 的情况下，平均需要多少次试验才能获得第一次成功。
我们使用期望的定义进行推导：
$$
E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot P(X = k) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot (1 - p)^{k - 1} p
$$
令 $ q = 1 - p $，则有：
$$
E(X) = p \sum_{k=1}^{\infty} k q^{k - 1}
$$
利用等比数列求和公式：
$$
\sum_{k=1}^{\infty} k q^{k - 1} = \frac{1}{(1 - q)^2} = \frac{1}{p^2}
$$
因此，
$$
E(X) = p \cdot \frac{1}{p^2} = \frac{1}{p}
$$
三、方差的推导
方差 $ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $
先计算 $ E(X^2) $：
$$
E(X^2) = \sum_{k=1}^{\infty} k^2 \cdot (1 - p)^{k - 1} p
$$
同样令 $ q = 1 - p $，则：
$$
E(X^2) = p \sum_{k=1}^{\infty} k^2 q^{k - 1}
$$
利用已知公式：
$$
\sum_{k=1}^{\infty} k^2 q^{k - 1} = \frac{1 + q}{(1 - q)^3} = \frac{1 + (1 - p)}{p^3} = \frac{2 - p}{p^3}
$$
因此，
$$
E(X^2) = p \cdot \frac{2 - p}{p^3} = \frac{2 - p}{p^2}
$$
然后，
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{2 - p}{p^2} - \left(\frac{1}{p}\right)^2 = \frac{1 - p}{p^2}
$$
四、总结表格
| 项目 | 公式 |
| 概率质量函数 | $ P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} p $ |
| 期望值 | $ E(X) = \frac{1}{p} $ |
| 方差 | $ \text{Var}(X) = \frac{1 - p}{p^2} $ |
五、结论
几何分布的期望和方差分别反映了在伯努利试验中，首次成功所需的平均试验次数及其波动性。通过数学推导，我们可以清晰地看到这些参数与成功概率 $ p $ 之间的关系。理解这些公式有助于在实际问题中对随机事件进行建模与分析。