【求高等数学所有的求导公式】在高等数学中，求导是微积分的重要组成部分，广泛应用于函数分析、物理建模、工程计算等多个领域。掌握常见的求导公式对于学习和应用微积分具有重要意义。本文将对高等数学中常用的求导公式进行系统总结，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数公式
| 函数表达式 | 导数 |
| $ y = C $（C为常数） | $ y' = 0 $ |
| $ y = x^n $（n为实数） | $ y' = nx^{n-1} $ |
| $ y = a^x $（a>0, a≠1） | $ y' = a^x \ln a $ |
| $ y = e^x $ | $ y' = e^x $ |
| $ y = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ y' = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ y = \ln x $ | $ y' = \frac{1}{x} $ |
| $ y = \sin x $ | $ y' = \cos x $ |
| $ y = \cos x $ | $ y' = -\sin x $ |
| $ y = \tan x $ | $ y' = \sec^2 x $ |
| $ y = \cot x $ | $ y' = -\csc^2 x $ |
| $ y = \sec x $ | $ y' = \sec x \tan x $ |
| $ y = \csc x $ | $ y' = -\csc x \cot x $ |
二、反三角函数的导数公式
| 函数表达式 | 导数 | ||
| $ y = \arcsin x $ | $ y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ y = \arccos x $ | $ y' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ y = \arctan x $ | $ y' = \frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ y = \text{arccot } x $ | $ y' = -\frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ y = \text{arcsec } x $ | $ y' = \frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
| $ y = \text{arccsc } x $ | $ y' = -\frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
三、导数的基本运算法则
| 运算类型 | 公式 |
| 和差法则 | $ (u \pm v)' = u' \pm v' $ |
| 积法则 | $ (uv)' = u'v + uv' $ |
| 商法则 | $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $（$ v \neq 0 $） |
| 链式法则 | $ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
四、高阶导数与隐函数求导
1. 高阶导数
若 $ y = f(x) $，则其二阶导数为：
$$
y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(y')
$$
以此类推，可求得更高阶导数。
2. 隐函数求导
若 $ F(x, y) = 0 $，则通过两边对 $ x $ 求导，解出 $ \frac{dy}{dx} $。
五、参数方程与极坐标下的导数
1. 参数方程
设 $ x = x(t) $，$ y = y(t) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \quad ( \frac{dx}{dt} \neq 0 )
$$
2. 极坐标
设 $ r = r(\theta) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dr}{d\theta} \sin \theta + r \cos \theta}{\frac{dr}{d\theta} \cos \theta - r \sin \theta}
$$
六、常见复合函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ y = \sin(u) $ | $ y' = \cos(u) \cdot u' $ |
| $ y = \cos(u) $ | $ y' = -\sin(u) \cdot u' $ |
| $ y = \ln(u) $ | $ y' = \frac{u'}{u} $ |
| $ y = e^u $ | $ y' = e^u \cdot u' $ |
| $ y = \tan(u) $ | $ y' = \sec^2(u) \cdot u' $ |
| $ y = \log_a(u) $ | $ y' = \frac{u'}{u \ln a} $ |
七、总结
以上内容涵盖了高等数学中常见的求导公式和相关规则，包括基本初等函数、反三角函数、导数运算法则、高阶导数、隐函数、参数方程及极坐标下的导数等内容。这些公式是微积分学习的基础，也是解决实际问题时的重要工具。建议在学习过程中结合例题练习，加深理解与记忆。