【期望与方差公式】在概率论与数理统计中，期望和方差是描述随机变量基本特征的两个重要指标。期望反映了随机变量的平均取值水平，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。以下是对期望与方差相关公式的总结。
一、期望（Expectation）
期望是随机变量在大量重复试验中所表现出的平均结果。对于离散型和连续型随机变量，其期望计算方式如下：
1. 离散型随机变量
设随机变量 $ X $ 可能取值为 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \ldots, p_n $，则期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
2. 连续型随机变量
设随机变量 $ X $ 的概率密度函数为 $ f(x) $，则期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx
$$
二、方差（Variance）
方差表示随机变量与其期望之间的差异程度，数值越大，说明数据越分散；数值越小，说明数据越集中。
方差的定义为：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2
$$
也可以简化为：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
三、常见分布的期望与方差公式
| 分布类型 | 概率质量/密度函数 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 伯努利分布 | $ P(X=k) = p^k(1-p)^{1-k} $ | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 二项分布 | $ P(X=k) = C_n^k p^k(1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
四、期望与方差的性质
1. 线性性：对任意常数 $ a $ 和 $ b $，有
$$
E(aX + b) = aE(X) + b
$$
2. 方差的线性变换：
$$
\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)
$$
3. 独立变量的方差：若 $ X $ 与 $ Y $ 相互独立，则
$$
\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)
$$
五、总结
期望与方差是统计学中最基础且最重要的概念之一。它们不仅用于描述数据的中心趋势和离散程度，还在实际应用中广泛用于风险评估、预测分析、模型构建等场景。掌握这些公式的推导与应用场景，有助于更深入地理解概率与统计的核心思想。
通过表格形式的整理，可以更清晰地对比不同分布下的期望与方差，便于记忆与应用。