【切平面与法平面公式】在三维几何中，曲面的切平面和法平面是研究其局部性质的重要工具。切平面是指通过某一点并与曲面在该点处有相同方向的平面；而法平面则是与切平面垂直的平面，其法向量即为曲面在该点的法向量。本文将总结常见的曲面切平面与法平面的公式，并以表格形式呈现。
一、切平面与法平面的基本概念
1. 切平面：设有一光滑曲面 $ S $，在点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 处，若存在一个平面，使得该平面上的所有点都与曲面在该点处“接触”，则称该平面为曲面在该点的切平面。
2. 法平面：与切平面垂直的平面称为法平面，其法向量与曲面在该点的法向量一致。
二、常见曲面的切平面与法平面公式
| 曲面类型 | 方程 | 切平面方程 | 法平面方程 |
| 平面 | $ Ax + By + Cz + D = 0 $ | 与原平面重合 | 与原平面重合 |
| 球面 | $ x^2 + y^2 + z^2 = r^2 $ | $ xx_0 + yy_0 + zz_0 = r^2 $ | $ (x - x_0) \cdot A + (y - y_0) \cdot B + (z - z_0) \cdot C = 0 $（其中 $ A = x_0, B = y_0, C = z_0 $） |
| 椭球面 | $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 $ | $ \frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} + \frac{zz_0}{c^2} = 1 $ | 同上，法向量为 $ \left( \frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2}, \frac{z_0}{c^2} \right) $ |
| 圆柱面 | $ x^2 + y^2 = r^2 $ | $ xx_0 + yy_0 = r^2 $ | 法向量为 $ (x_0, y_0, 0) $ |
| 锥面 | $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2} $ | $ \frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} = \frac{zz_0}{c^2} $ | 法向量为 $ \left( \frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2}, -\frac{z_0}{c^2} \right) $ |
三、通用公式推导方法
对于一般显式函数 $ z = f(x, y) $ 或隐式函数 $ F(x, y, z) = 0 $，可利用偏导数计算切平面和法平面：
- 显式函数 $ z = f(x, y) $：
- 切平面方程：$ z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) $
- 法向量：$ (f_x, f_y, -1) $
- 隐式函数 $ F(x, y, z) = 0 $：
- 切平面方程：$ F_x(x_0, y_0, z_0)(x - x_0) + F_y(x_0, y_0, z_0)(y - y_0) + F_z(x_0, y_0, z_0)(z - z_0) = 0 $
- 法向量：$ (F_x, F_y, F_z) $
四、总结
切平面与法平面是分析曲面局部几何性质的重要工具，适用于各种类型的曲面。无论是平面、球面、椭球面还是圆柱面等，都有对应的切平面和法平面公式。掌握这些公式有助于更深入地理解空间几何结构，并在工程、物理和计算机图形学等领域中广泛应用。
通过表格形式的归纳，可以清晰地看到不同曲面的切平面与法平面表达方式，便于记忆与应用。