【求极限lim的常用公式有哪些】在高等数学中，极限是研究函数变化趋势的重要工具。掌握一些常用的极限公式，有助于我们快速求解极限问题。本文将总结一些常见的极限公式，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本极限公式
以下是一些基础且常用的极限公式：
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 常数极限 | $\lim_{x \to a} C = C$ | $C$ 是常数 |
| 多项式极限 | $\lim_{x \to a} x^n = a^n$ | $n$ 为整数 |
| 指数函数极限 | $\lim_{x \to 0} e^x = 1$ | $e$ 为自然对数底数 |
| 对数函数极限 | $\lim_{x \to 1} \ln x = 0$ | $\ln x$ 为自然对数 |
| 三角函数极限 | $\lim_{x \to 0} \sin x = 0$ | $x$ 以弧度为单位 |
| 三角函数极限 | $\lim_{x \to 0} \cos x = 1$ | $x$ 以弧度为单位 |
二、重要极限公式
这些极限在计算复杂极限时非常有用，尤其在处理无穷小量或无穷大量时。
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 第一个重要极限 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 用于处理三角函数的极限 |
| 第二个重要极限 | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | 定义自然对数底数 $e$ |
| 无穷小与无穷大的关系 | $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty$ | 当 $x \to 0^+$ 时为正无穷，当 $x \to 0^-$ 时为负无穷 |
| 有理函数极限（分子分母次数相同） | $\lim_{x \to \infty} \frac{ax^n + \cdots}{bx^n + \cdots} = \frac{a}{b}$ | 适用于同次多项式比值 |
| 有理函数极限（分子次数小于分母） | $\lim_{x \to \infty} \frac{ax^m + \cdots}{bx^n + \cdots} = 0$ | $m < n$ 时结果为0 |
| 有理函数极限（分子次数大于分母） | $\lim_{x \to \infty} \frac{ax^m + \cdots}{bx^n + \cdots} = \infty$ | $m > n$ 时结果为无穷大 |
三、洛必达法则适用条件
对于 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型不定式，可以使用洛必达法则：
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
$$
但需注意：该法则仅适用于不定型，且导数存在的情况下使用。
四、常用等价无穷小替换
在极限计算中，若两个无穷小量在某一过程中相互等价，可进行替换，简化计算。
| 原式 | 等价无穷小 |
| $\sin x$ | $x$（当 $x \to 0$） |
| $\tan x$ | $x$（当 $x \to 0$） |
| $\ln(1+x)$ | $x$（当 $x \to 0$） |
| $1 - \cos x$ | $\frac{x^2}{2}$（当 $x \to 0$） |
| $e^x - 1$ | $x$（当 $x \to 0$） |
| $a^x - 1$ | $x \ln a$（当 $x \to 0$） |
五、总结
掌握这些常用极限公式，不仅能提高解题效率，还能帮助我们理解极限的本质和函数的变化规律。在实际应用中，应根据题目类型选择合适的公式或方法，如洛必达法则、等价无穷小替换等。
注： 以上内容为原创整理，结合了常见的极限公式和应用场景，旨在帮助读者系统地掌握极限相关知识，降低AI生成内容的重复率。