【求原函数公式】在微积分中，求原函数是积分运算的核心内容之一。原函数是指一个函数的导数等于给定函数的函数，即如果 $ F'(x) = f(x) $，那么 $ F(x) $ 就是 $ f(x) $ 的一个原函数。求原函数的过程也称为不定积分。
为了便于理解和应用，以下是对常见函数的原函数公式进行总结，并以表格形式展示。
一、基本函数的原函数公式
| 原函数 $ f(x) $ | 原函数 $ F(x) $（不定积分） | 备注 | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | $ n \neq -1 $ | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ | 定义域为 $ x \neq 0 $ |
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | 指数函数的导数仍是自身 | ||
| $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $ | $ a > 0, a \neq 1 $ | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | 三角函数的积分 | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | 三角函数的积分 | ||
| $ \tan x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ | 注意定义域限制 |
| $ \cot x $ | $ \ln | \sin x | + C $ | 注意定义域限制 |
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | 三角函数的积分 | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | 三角函数的积分 | ||
| $ \sec x \tan x $ | $ \sec x + C $ | 三角函数的积分 | ||
| $ \csc x \cot x $ | $ -\csc x + C $ | 三角函数的积分 |
二、常见组合函数的原函数
| 原函数 $ f(x) $ | 原函数 $ F(x) $ | 备注 | ||
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | 反三角函数 | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $ | $ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | 反三角函数 | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} $ | $ \ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) + C $ | 对数函数 | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} $ | $ \ln\left | x + \sqrt{x^2 - a^2}\right | + C $ | 对数函数 |
三、注意事项
1. 常数项：在求原函数时，结果中必须加上一个任意常数 $ C $，因为导数为零的函数有无穷多个。
2. 分段函数：对于某些特殊函数，如分段定义的函数，需要分段求解原函数。
3. 换元法与分部积分法：对于复杂函数，可能需要使用换元法或分部积分来求其原函数。
4. 反函数与复合函数：对反函数或复合函数求原函数时，需结合链式法则和逆向操作。
四、总结
求原函数是微积分中的基础操作，掌握常见的函数及其原函数公式有助于快速解决积分问题。通过表格形式可以清晰地看到不同函数对应的原函数表达式，方便记忆和查阅。同时，在实际应用中还需注意函数的定义域、积分常数以及可能需要的积分技巧。
如需进一步了解如何求解更复杂的函数原函数，可参考积分方法如换元积分、分部积分等。