【二阶偏导数fxy怎么求】在多元微积分中，二阶偏导数是研究函数在多个变量下的变化率的重要工具。其中，fxy 是指对函数先对 x 求偏导，再对 y 求偏导的二阶混合偏导数。下面我们将从定义、计算步骤和常见误区等方面进行总结，并以表格形式展示关键内容。
一、二阶偏导数 fxy 的定义
对于一个二元函数 $ f(x, y) $，其二阶偏导数 $ f_{xy} $ 表示：
1. 先对变量 $ x $ 求偏导，得到 $ f_x $；
2. 再对变量 $ y $ 求偏导，得到 $ f_{xy} $。
即：
$$
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)
$$
二、计算步骤
以下是计算 $ f_{xy} $ 的标准步骤：
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 对函数 $ f(x, y) $ 求关于 $ x $ 的一阶偏导数 $ f_x $，将 $ y $ 视为常数。 |
| 2 | 将得到的 $ f_x $ 作为新的函数，对其再次求关于 $ y $ 的偏导数，得到 $ f_{xy} $。 |
三、举例说明
假设函数为 $ f(x, y) = x^2 y + xy^2 $
第一步：求 $ f_x $
$$
f_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y + xy^2) = 2xy + y^2
$$
第二步：求 $ f_{xy} $
$$
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy + y^2) = 2x + 2y
$$
四、注意事项与常见误区
| 问题 | 说明 |
| 混淆 fxy 和 fyx | 在连续可微的条件下，通常有 $ f_{xy} = f_{yx} $，但需注意是否满足条件。 |
| 忽略变量的独立性 | 在求偏导时，必须将其他变量视为常数，不可混淆为全导数。 |
| 计算顺序错误 | 先对 x 求导，再对 y 求导，不能颠倒顺序（除非函数不满足连续性）。 |
五、总结表格
| 项目 | 内容 |
| 定义 | $ f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) $ |
| 计算步骤 | 先对 x 求偏导，再对 y 求偏导 |
| 示例函数 | $ f(x, y) = x^2 y + xy^2 $ |
| 一阶偏导 $ f_x $ | $ 2xy + y^2 $ |
| 二阶偏导 $ f_{xy} $ | $ 2x + 2y $ |
| 注意事项 | 区分 fxy 与 fyx；保持变量独立性；确保函数连续可微 |
通过以上内容，我们可以清晰地理解如何求解二阶偏导数 $ f_{xy} $，并在实际应用中避免常见错误。