【反三角函数公式】在数学中，反三角函数是三角函数的反函数，用于求解角度。它们在微积分、物理、工程等领域有广泛应用。常见的反三角函数包括反正弦（arcsin）、反余弦（arccos）、反正切（arctan）等。以下是这些函数的基本定义、定义域、值域以及一些重要公式。
一、基本定义与性质
| 函数名称 | 符号表示 | 定义 | 定义域 | 值域 |
| 反正弦 | arcsin(x) | y = arcsin(x) 当且仅当 sin(y) = x | [-1, 1] | [-π/2, π/2] |
| 反余弦 | arccos(x) | y = arccos(x) 当且仅当 cos(y) = x | [-1, 1] | [0, π] |
| 反正切 | arctan(x) | y = arctan(x) 当且仅当 tan(y) = x | (-∞, +∞) | (-π/2, π/2) |
二、常用公式与恒等式
1. 互为补角关系
- arcsin(x) + arccos(x) = π/2
- arctan(x) + arccot(x) = π/2
2. 对称性
- arcsin(-x) = -arcsin(x)
- arccos(-x) = π - arccos(x)
- arctan(-x) = -arctan(x)
3. 三角函数与反三角函数的关系
- sin(arcsin(x)) = x
- cos(arccos(x)) = x
- tan(arctan(x)) = x
4. 求导公式（微积分应用）
- d/dx [arcsin(x)] = 1 / √(1 - x²)
- d/dx [arccos(x)] = -1 / √(1 - x²)
- d/dx [arctan(x)] = 1 / (1 + x²)
三、特殊角度的反三角函数值
| x | arcsin(x) | arccos(x) | arctan(x) |
| 0 | 0 | π/2 | 0 |
| 1/2 | π/6 | π/3 | π/6 |
| √2/2 | π/4 | π/4 | π/4 |
| √3/2 | π/3 | π/6 | π/3 |
| 1 | π/2 | 0 | π/4 |
四、总结
反三角函数是解决已知三角函数值求角度的重要工具。它们具有对称性、互补性和可导性等特性，在实际问题中广泛使用。掌握其定义、性质和公式有助于更深入地理解三角函数的应用，并在高等数学中发挥重要作用。
通过表格形式整理后，可以更清晰地看到各个反三角函数之间的关系及常见数值，便于记忆和应用。