【频率的中位数公式】在统计学中，中位数是描述一组数据集中趋势的重要指标之一。它表示将数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。对于未分组的数据，中位数的计算较为直接；而对于分组数据（即频率分布表），则需要通过频率的中位数公式来估算中位数。
一、中位数的定义
中位数（Median）是将一组数据按从小到大排列后，处于中间位置的数值。如果数据个数为奇数，则中位数是正中间的那个数；如果数据个数为偶数，则中位数是中间两个数的平均值。
二、频率的中位数公式
当数据以频率分布的形式出现时，中位数的计算方式有所不同。此时，我们使用以下公式来估算中位数：
$$
M = L + \left( \frac{\frac{N}{2} - F}{f} \right) \times w
$$
其中：
- $ M $：中位数
- $ L $：中位数所在组的下限
- $ N $：总频数（所有数据的个数）
- $ F $：中位数所在组之前各组的累计频数
- $ f $：中位数所在组的频数
- $ w $：组距（即每个组的区间长度）
三、计算步骤
1. 确定总频数 $ N $：将所有组的频数相加。
2. 计算 $ \frac{N}{2} $：找到中位数的位置。
3. 确定中位数所在的组：找到第一个累计频数大于或等于 $ \frac{N}{2} $ 的组。
4. 代入公式计算中位数。
四、示例说明
假设某班级学生身高（单位：cm）的频率分布如下：
| 身高区间（cm） | 频数（人数） | 累计频数 |
| 150 – 155 | 5 | 5 |
| 155 – 160 | 8 | 13 |
| 160 – 165 | 12 | 25 |
| 165 – 170 | 10 | 35 |
| 170 – 175 | 5 | 40 |
总频数 $ N = 40 $，因此 $ \frac{N}{2} = 20 $。
查找累计频数大于等于20的第一个组，发现是“160 – 165”组，其累计频数为25，频数为12，组距为5。
代入公式：
$$
M = 160 + \left( \frac{20 - 13}{12} \right) \times 5 = 160 + \left( \frac{7}{12} \right) \times 5 ≈ 160 + 2.92 = 162.92
$$
所以，该班学生的身高中位数约为162.92 cm。
五、总结
| 概念 | 定义 |
| 中位数 | 将数据按大小排序后，处于中间位置的数值 |
| 频率分布 | 数据按区间分类并统计其频数的表格 |
| 中位数公式 | $ M = L + \left( \frac{\frac{N}{2} - F}{f} \right) \times w $ |
| 应用场景 | 对于分组数据，无法直接找到中位数时使用此公式估算 |
通过上述方法，我们可以有效地利用频率分布表来估算中位数，从而更准确地分析数据的集中趋势。