sin18 精确值推导讲解

核心结论是 sin18 度的精确值等于 (√5 减 1) 除以 4，数值近似约等于 0.3090，这个是三角函数特殊角里面非常经典的无理数结果，初中高中计算题经常会要求推导或者直接使用这个结果。之所以 sin18 不能写成简单分数，是因为 18 度并不是 30 45 60 这类基础特殊角，它要借助二倍角公式和三倍角公式联立方程，利用角度之间的等量关系解一元二次方程，最后得到带根号的精确表达式。学习的时候要理解整套推导逻辑，不要死记硬背，掌握推导思路之后，就算忘记公式也可以自己重新算出 sin18 的结果，同时还要配套记住对应的 cos18 tan18 数值，方便解三角形综合题。

深度解析

基础结果汇总

推导原理

设 α 等于 18 度，那么 2α 等于 36 度，3α 等于 54 度

可以发现 3α = 90° − 2α

所以 sin3α = sin (90°−2α) = cos2α

sin3α 展开等于 3sinα − 4sin³α

cos2α 展开等于 1 − 2sin²α

令 x = sinα，代入得到方程

3x − 4x³ = 1 − 2x²

整理成 4x³ − 2x² − 3x + 1 = 0

因式分解之后得到 (x−1)(4x²+2x−1)=0

x 等于 1 这个解不符合 18 度正弦，舍去

解二次方程 4x²+2x−1=0，因为角度是锐角，sin18 取正根

x = (−2+√(4+16)) / 8 = (√5−1)/4

解题使用要点

sin18 属于黄金分割相关的三角函数，和正五边形计算关联很大

计算的时候如果题目要求精确值，必须写带根号形式，不能只写小数近似值

结合 sin²α+cos²α=1，可以由 sin18 求出 cos18，再用 tan 等于 sin 除以 cos 算出 tan18

注意单位是角度制，不是弧度制，很多同学做题误当成弧度，结果直接出错

计算操作步骤

第一步 设角 α 等于 18 度，观察 3α 和 2α 互余这个关键关系

第二步 写出 sin3α 等于 cos2α，展开三倍角和二倍角公式

第三步 换元 x 等于 sinα，得到一元三次方程

第四步 因式分解，舍去不合理的根，解二次方程

第五步 保留正根，得到 sin18 精确表达式

第六步 需要小数结果的时候再转换成近似小数

【常见问题】

问题 1 sin18 是有理数吗

回答 1 sin18 不是有理数，sin18 精确表达式含有根号 5，属于无理数，近似值大约是 0.3090。

问题 2 sin18 推导为什么要用三倍角公式

回答 2 sin18 推导核心就是利用三倍角公式，因为 18 度的三倍角 54 度，和二倍角 36 度互余，这样才能建立 sin 和 cos 的等量方程，求出 sin18。

问题 3 sin18 和 sin72 是什么关系

回答 3 sin18 和 sin72 满足互余关系，sin72 等于 cos18，sin72 数值和 cos18 相等，sin18 加上相关恒等变换经常和 sin72 一起出现在正五边形题目里面。

【免责申明】

本文内容属于三角函数特殊角推导知识，仅作为学习备考参考，正式考试答题请以教材规定书写格式为准。